Чем в юридическом смысле отличаются понятия "организация вправе отказать..." и "организация обязана отказать..."?

В гражданско-правовом смысле:
Граждане (физические лица) и юридические лица приобретают и осуществляют свои гражданские права своей волей и в своем интересе. Они свободны в установлении своих прав и обязанностей на основе договора и в определении любых не противоречащих законодательству условий договора (статья 1 Гражданского кодекса РФ).

Более конкретно - смотрим обязательственное право (глава 21 ГК РФ, статья 307).
В соответствии с этой статьей:
Должник - лицо, которое обязано совершить в пользу другого лица (под этим лицом, как правило, но не обязательно, подразумевается кредитор) определенные действия, либо воздержаться от определенного действия.
Кредитор - лицо, которое имеет право требовать от должника исполнения этой обязанности.

Самый простой пример - договор купли-продажи:
Продавец - кредитор в части требования от покупателя денег, но должник в части передачи товара;
Покупатель - кредитор в части требования от продавца товара, но должник в части передачи денег.

Применительно к настоящему вопросу это означает, что в первом случае организация в рамках закона имеет право выбора своего поведения (то есть может как удовлетворить или отказать), а во втором случае право выбора отсутствует (только отказать или только удовлетворить).

П. С. В электротехнике есть такой афоризм: все виды поломок сводятся к двум типам - наличие контакта там, где он не нужен, и отсутствие контакта там, где он необходим.
Применительно к правоведению:
начало любого конфликта начинается с того, что один из субъектов действует следующим образом:
в отношении других - лишение (ограничение) прав или возложение обязанностей;
в отношении себя - превышение своих прав или пренебрежение своими обязанностями.